Le modalità di calcolo del rapporto debito-PIL erano già state accennate nell’articolo relativo al grafico sui tassi medi di interesse sul debito pubblico. Cercheremo ora di approfondire l’argomento.
(27/04/2024 – Eliminate parti superflue per maggiore sintesi)
Tutti i calcoli spiegati di seguito li potete trovare già impostati in un foglio di calcolo:
1. Calcolo della variazione debito/PIL
Innanzitutto, volendo calcolare la variazione del debito/PIL per un certo anno “t”, bisogna considerare i valori del debito e del PIL iniziali, ovvero nel periodo “t-1”. In questo caso, invece di prendere dei valori a caso, verranno considerati i dati reali di finanza pubblica stimati dal Governo per l’anno 2021 nel DEF del medesimo anno.
Per l’anno “t-1”, ovvero il 2020, è indicato un debito/PIL al 155,8% (DPi).
Per fare i nostri calcoli risulta comodo ipotizzare che quella cifra rappresenti anche il valore assoluto di un debito che abbia come controparte un valore di 100 per il PIL. Ovvero:
Risulta evidente che se riusciamo a sapere quanto varia in percentuale il PIL e il debito nel periodo “t” possiamo anche calcolare i due valori mancanti con i quali ottenere il nuovo debito/PIL.
Per il PIL la questione è semplice, visto che il dato necessario viene già fornito in forma facilmente utilizzabile. Nel DEF è indicata per il 2021 una variazione nominale del PIL del 5,6% (P). Normalmente siamo abituati a sentir parlare della variazione reale del PIL, ovvero al netto del tasso di inflazione. Nel DEF tale variazione è indicata al 4,5% (Pr). Conoscendo il tasso deflatore del PIL, che nel DEF è indicato all’1,1% (Df), se ce n’è bisogno è possibile calcolare la variazione reale del PIL da quella nominale con questa semplice formula:
PIL reale (Pr)
= (P - Df) / (1 +Df)
= (0,056 - 0,011) / (1 + 0,011) = 0,045 = 4,5%
Utilizzando la formula inversa è possibile fare il contrario:
PIL nominale (P)
= Pr * (1 + Df) + Df
= 0,045 * (1 + 0,011) + 0,011 = 0,056 = 5,6%
Da notare che in tutti i documenti di programmazione economica i valori sono sempre forniti arrotondati al primo decimale (trattandosi di stime una ulteriore precisione risulta inutile). Fare calcoli con questi dati può però creare qualche piccolo problema di coerenza nei risultati perché di fatto manca una parte dei valori. Si tratta comunque al massimo di un errore che rimane nell’ambito di un decimale.
Con il nostro dato del PIL nominale al 5,6% possiamo ora aggiornare il piccolo schema visto in precedenza:
Come si vede il valore del PIL passa da 100 a 105,6. Sulla sinistra sono stati riepilogati tutti i dati e i calcoli utilizzati finora.
A questo manca solo da trovare la variazione percentuale del debito, e le cose si fanno un po’ più complicate.
Infatti il debito pubblico varia in base a due componenti: gli interessi e il saldo primario. Quest’ultimo, ricordiamolo, rappresenta il saldo tra le entrate e le spese pubbliche senza considerare la spesa per interessi.
La variazione del debito in base agli interessi è rappresentata dal tasso medio implicito su tutto il debito pubblico, calcolato come rapporto tra il valore monetario degli interessi pagati in un anno con il valore del debito dell’anno precedente. Il DEF fornisce tale dato sia nella sua forma naturale, ovvero come percentuale in rapporto al debito (I), sia in percentuale sul PIL (Ip). Il valore è in questo caso del 2,2% per I e del 3,3% per Ip. Anche qui volendo è possibile passare da un dato all’altro tramite formula:
Tasso di interesse sul PIL (Ip)
= I * DPi / (1 + P)
= 0,022 * 1,558 / (1 + 0,056) = 0,032 = 3,2%
Il DPi è il debito/PIL iniziale di cui si è parlato all’inizio. La logica di questo calcolo dovrebbe essere abbastanza chiara osservando sempre il piccolo schema visto in precedenza; moltiplicando il tasso per il debito in “t-1” ottengo la consistenza degli interessi che poi vanno rapportati al PIL del periodo “t”, ovvero 1 più la variazione del PIL.
Il risultato della formula è più basso di un decimale rispetto al dato fornito nel DEF a causa di arrotondamenti. Ovviamente con la formula inversa si può calcolare I a partire da Ip. Nello schema di calcolo conviene sempre considerare il tasso sul debito come dato di ingresso, ovvero come variabile indipendente.
Ora che abbiamo il tasso di interesse ci manca di capire quanto varia il debito per colpa del saldo primario.
Il DEF fornisce il dato del saldo primario in rapporto al PIL (SP). Tale valore è del -8,5%. Anche in questo caso il valore non è adatto perché a noi serve la variazione in rapporto al debito. Secondo logica possiamo quindi applicare questa percentuale al PIL del periodo “t” (105,6) per determinare la consistenza del saldo primario e poi rapportare tale valore al debito iniziale (155,8) per determinare la percentuale. In sostanza si tratta di applicare la seguente formula:
Saldo primario sul debito (SPd)
= -SP * (1 + P) / DPi
= 0,085 * (1 + 0,056) / 1,558 = 0,058 = 5,8%
A questo punto per calcolare la variazione complessiva del debito (VD) è sufficiente sommare il tasso di interesse visto in precedenza (I) con la variazione del saldo primario sul debito (SPd):
Variazione del debito (VD)
= I + SPd
= 0,022 + 0,058 = 0,080 = 8,0%
Da notare che sommando il precedente valore del saldo primario in rapporto al PIL (SP) con segno invertito agli interessi sul PIL (Ip) otteniamo il dato del deficit (D) sul PIL: 8,5%+3,2%=11,7% (differisce dall’11,8% riportato nel DEF causa arrotondamenti). Volendo è possibile calcolare direttamente la variazione sul debito VD partendo dal deficit applicando la stessa formula vista per il saldo primario:
Variazione del debito (VD)
= D * (1 + P) / DPi
= 0,117 * (1 + 0,056) / 1,558 = 0,080 = 8,0%
Possiamo ora finalmente calcolare il valore del debito nel periodo “t” nel nostro schema semplicemente aggiungendo l’8,0% precedente al debito “t-1” di 155,8:
Come si vede è stato possibile quindi calcolare il nuovo debito/PIL per il periodo “t” (ovvero il 2021 in questo caso), con un valore di 159,3% che, confrontato con il 155,8% del periodo precedente, da origine ad una variazione del debito/PIL di 3,5 punti percentuali.
Va detto che il DEF in realtà indica per il 2021 una variazione del debito/PIL di 4 punti percentuali (ovvero il debito arriva al 159,8%). Questo, al netto di possibili effetti da arrotondamenti, deriva dal fatto che esiste un altro parametro da considerare: l’aggiustamento stock-flussi. Si tratta di una sorta di correzione contabile necessaria per passare dai valori utilizzati nella contabilità del deficit a quelli utilizzati per la contabilità del debito. E’ un parametro complesso, quindi per niente facile da prevedere. In genere tende ad essere peggiorativo del debito (ma potrebbe avere anche segno opposto). Non ha comunque un grande valore, quindi alla fine incide poco e può essere anche ignorato. Diciamo che in condizioni normali sta sotto allo 0,5% del PIL. In questo caso, come si è visto, l’aggiustamento stock-flussi stimato è dello 0,5% (4%-3,5%).
2. Determinare una formula diretta
Ora che abbiamo ottenuto il nostro risultato viene da chiedersi: possiamo riassumere tutti questi calcoli in un’unica formula?
La risposta è sì, ma per capire bene come impostare la formula è necessario avere chiaro in mente le dinamiche che portano a calcolare la variazione percentuale di un rapporto a partire dalla variazione percentuale del numeratore e denominatore.
Prendiamo in considerazione questo semplice schema:
Come si vede, se io incremento il numeratore del 3% (Nm), anche il risultato del rapporto si incrementa del 3%, ovvero viene moltiplicato per 1,03.
Se io incremento il denominatore del 2% (Dn), il risultato del rapporto cala dell’1,96%, ovvero non viene sottratto il 2% ma piuttosto viene tolto l’incremento del 2%, che si ottiene dividendo il valore per 1,02.
Se io applico entrambe le variazioni, ottengo:
Il valore del nuovo rapporto “t” è ottenuto quindi moltiplicando il vecchio rapporto (100%) per 1,03 e dividendolo poi per 1,02. Il risultato è del 100,98%. Se io tolgo il 100% ottengo la percentuale di variazione, lo 0,98%. Ovvero alla fine tutto si riassume nel calcolo:
1,03 / 1,02 -1 = 0,0098 = 0,98%
La regola generale sarebbe quindi:
Variazione percentuale del rapporto
= (1 + Nm) / (1 + Dn) -1
Portando poi tutto ad un unico denominatore, otteniamo:
Variazione percentuale del rapporto
= (1 + Nm -1 (1 + Dn)) / (1 + Dn)
= (Nm - Dn) / (1 + Dn)
Questa è la formula che prendiamo in considerazione (che poi è la stessa impostazione già vista per il calcolo dei valori reali).
Bisogna chiarire che tale formula da come risultato la variazione percentuale del rapporto, non la variazione in punti percentuali (che è un’altra cosa ed è quella che ci interessa in questo caso). Nell’esempio precedente i due valori coincidono solo perché si è partiti da un rapporto iniziale del 100%. Con qualsiasi altro valore per ottenere la variazione in punti percentuali è necessario moltiplicare la variazione percentuale per il rapporto iniziale (Ri), ovvero:
Variazione in punti percentuali del rapporto
= (Nm - Dn) / (1 + Dn) * Ri
Ora abbiamo la formula base di riferimento da poter applicare al caso della variazione del debito/PIL; basta sostituire Nm con la variazione del debito (VD), Dn con la variazione del PIL (P) e Ri con il debito/PIL iniziale (DPi). Quindi:
Variazione del debito/PIL
= (VD - P) / (1 + P) * DPi
Ma VD, come si è visto in precedenza, è composta da due parti: il tasso di interesse (I) e la variazione del saldo primario sul debito (SPd), quindi:
Variazione del debito/PIL
= (I - SP (1 + P) / DPi - P) / (1 + P) * DPi
Abbiamo ottenuto la formula diretta che ci serviva. Tale formula è molto chiara nel mostrare le varie componenti che la formano ma è oggettivamente un po’ lunghetta e volendo può essere ridotta a:
Variazione del debito/PIL
= (I - P) / (1 + P) * DPi - SP
Usando la seconda formula con i dati precedenti abbiamo:
Variazione del debito/PIL
= (0,022 - 0,056) / (1 + 0,056) * 1,558 + 0,085 = 0,035 = 3,5%
Come si vede otteniamo lo stesso risultato calcolato in precedenza.
Volendo possiamo determinare la formula considerando la variazione del debito a partire dal deficit (D), anche se la formula da meno informazioni sulle componenti che influenzano il risultato:
Variazione del debito/PIL
= (D * (1 + P) / DPi - P) / (1 + P) * DPi
Che, portando tutto a DPi la differenza nel numeratore e mettendo in seguito in evidenza 1+P, può essere semplificata in:
Variazione del debito/PIL
= D - P * DPi / (1 + P)
Riepilogando tutto lo schema di calcolo, abbiamo:
Fonti
I dati di ingresso utilizzati per i calcoli sono tratti dal DEF 2021. In particolare i dati sul PIL e deflatore dalla tavola a pagina 11; i dati sul debito/PIL e saldo primario dalla tavola a pagina 13; i dati sul tasso di interesse e l’aggiustamento stock-flussi dalla tavola a pagina 95. L’archivio con i vecchi documenti di finanza pubblica lo trovate in fondo alla pagina web del Ministero indicata.